Oyun 2017: Seçilmiş Final Soruları ve Cevapları

Türkiye Zeka Vakfı tarafından her sene düzenlenen Oyun serisine bu yılda Oyun 2017 katılmış olup sınavına 29.584 kişi kaydolmuş, ilk aşamayı 5.541 kişi gelmiş, ikinci aşamayı ise 739 kişi geçerek finale katılmaya hak kazanmıştır. Aslında bu sayısal bilgilerin bu sınava olan ilginin ne kadar çok olduğunu göstermektedir.

Peki finale katılamayan veya hatta 2. aşamayı geçemeyen birçok kişi hem soruları hem de cevapları merak etmiş olabilir. Biz de sizlere sınavlardan seçtiğimiz bazı soruları ve cevaplarını paylaşıyoruz.

Final 5. Soru: Palindromlar Toplamı

İki pozitif palindromik sayının toplam 8143’tür. Bu iki sayıyı bulunuz.

Düzden ve tersten yazılışları aynı olan sayılar palindromik sayılardır: Örnek: 101, 333, 4554.

Bu soru aslında zor gibi görünse de biraz düşününce kısa bir yolla yapılabilmektedir. Tabi sınav heyecanıyla bu soruya çok vakit harcayanlar da olmuştur diye düşünüyoruz:

Şimdi iki palindromik sayının da \(4\) haneli olduğunu düşünelim:

\(x..x+y..y=8143\)

Bu toplamda \(x+y\)’nin ya \(13\) olması ya da \(3\) olması gerekiyor. Binler hanesindeki toplama dikkat edelim. \(x+y=8\), bu durumun olması da imkansızdır. Çünkü \(x+y=13\) ise \(8\)’e toplamada düşemez, \(x+y=3\) ise de bir önceki toplamdan kalanın ya \(5\) olması gerekiyor fakat iki sayının toplamından kalandan en fazla \(2\) gelebileceğin de düşünüldüğünde bu sayıların ikisinin birden \(4\) haneli olması imkansız oluyor.

Peki biri 4 haneli, diğeri 2 haneli olabilir mi? \(x..x+yy=8143\)

\(x\)’nin değeri ya \(7\) ya da \(8\) olacaktır. \(3\) olduğuna göre sonucun birler hanesi, \(x+y=13\) olması gerekiyor ve \(y\)’nin de alabileceği değerler \(6\) veya \(5\) olacaktır. \(y, 6\) veya \(5\) olacaksa \(x\)’in \(8\) olma şansı kalmıyor. Çünkü \(8143-6.. = 7…\) şeklinde bir sayısı verecektir. Böylelikle \(x\)’in değerinin \(7\) olduğunu ispatladık, dolayısıyla da \(y\)’de kesinlikle \(6\) olacaktır.

Bundan sonrası aslında daha kolay, çünkü \(4\) haneli olan \(x..x\) değerinin .. olan kısmındaki sayıların eşit olması gerekiyor. Misal \(7997\) gibi. Tabi bir de toplamın \(8143\) olduğunu bildiğimiz için .. değeri en küçük \(44\) en büyük ise \(55\) olacaktır ki 8100’li bir sayı elde edebilelim.

Küçük bir dene yanılma ile de ilk sayının \(7447\), diğer sayının ise \(696\) olduğunu bulabiliyoruz.

Sonuç: Soru uzun gibi görünse de aslında bu mantıkla düşünerek çözmek 1-2 dakikalık bir süreci kapsıyor. 10 soru için de 90 dakika verildiği düşünüldüğünde uzun yolla deneme yanılmayla da yapılsa çok zaman almayacak bir soru olduğunu değerlendiriyoruz.

Final 7. Soru: Noktalar ve Kareler

Aslında bu soru sınavın en güzel sorularından biriydi. Eğer ki daha önce formülünü bilseydiniz yaklaşık 2 dakikanızı alabilecek, bilmiyorsanız da yanlış yapma ihtimaliniz olabilecek dikkat isteyen bir soruydu.

Formülden kastımız aslında daha önce yayımladığımız konu anlatımında yer alan;

Kare Sayısı=\( \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}\)

Bu formülle aslında soruyu rahatlıkla çözebiliyoruz. Şöyle ki;

Bu sorunun \(5×5\)’lik bir nokta sisteminde verildiğini düşünürsek eğer cevabı yukarıdaki formüle göre

\( \frac{5^2(5-1)(5+1)}{12}=50\)

olacaktı. Ve köşe noktaların kazandırdığı \(13\) kareyi (her biri diğerleriyle ortak olmayacak şekilde 3 kare oluşturuyor, ortak olarak \(4\)’ü birden de bir büyük kare oluşturuyor.) çıkarttığımızda cevap \(37\) olarak çıkıyor. Tabi bu kadar kolay mıydı diyeceksiniz. Evet, formülü ve her noktanın kazandırdığı kare sayısı yöntemini düşünebilirseniz belki de 3 dakikanızı almayacak kadar kolay bir soruydu.

Tabi bu tarz bir soruyla ilk kez karşılaştıysanız yanlış sayma olasılığınız yüksek bir soruydu. Burada tecrübenin bu tarz yarışmalarda ne kadar önemli olduğu da ortaya çıkıyor.

Bir de uzun yolla düşünelim. Verilen örnek aslında büyük bir bilgiyi bizimle paylaşıyor. Sadece düz kareleri değil, köşegenlerle de karelerin oluşturulabildiğini söylüyor:

Burada en büyük eksiklik genel olarak son 2 şekilde oluyor. Herkes \((2,1), (1,2)\) ile \((3,1), (1,3)\) boyutlarındaki kareleri göremiyor.

Aslında biraz aşina olunduğunda soru inanılmaz kolaylaşıyor, fakat ilk kez karşılaşıyorsanız yanlış yapma riskiniz ciddi anlamda arttığını söyleyebilirim.

Cevabını merak ettiğiniz sorular olursa, lütfen bizimle irtibata geçtin. Sizin için en güzel şekilde çözmeye çalışacağız! Fakat şimdilik sadece soru kalitesi olarak en güzel olduğu değerlendirilen sorular paylaşılmıştır.