Noktalarla Kareler

Türkiye Zeka Vakfının hazırladığı Oyun 2017’nin finalinde bu sene ilk kez karşımıza çıkan bir soru türüyle karşılaştık. Soru aslında basit fakat dikkat gerektiren bir soruydu ve birçok kişi bu sorudaki inceliği göremediği için çözemedi.

Soru aslında basit gözüküyordu: Uzaklığı birbirine aynı olan noktalarla elde edilebilecek eşsiz karelerin sayısının toplamını istiyordu. Bir örneği de aşağıda verilmiştir. Diyelim ki \(3\times3\) boyutlarında yani toplamda 9 adet noktası bulunan aşağıdaki şekil ile elde edilebilecek kareleri hep birlikte bulalım:

Görüldüğü gibi toplamda 6 adet karemiz ortaya çıkıyor: \((1,0) \) birim boyutta \(4\) adet, \((2,0)\) birim boyutta 1 adet ve \((1,1) \) (yani \(\sqrt2 \)) boyutta da 1 adet karemiz ortaya çıkıyor. Fakat boyutları büyüttükçe bu durum daha kompleks hale gelebiliyor. Düşünsenize \(10×10\) boyutundaki noktalarla kaç tane kare elde edebileceğiniz sorulsaydı, gerçekten çok zaman harcamak zorunda kalabilirdiniz.

İşte bu tarz durumları yaşamamak adına bir genelleme yapmamız gerekiyor. Bu makalemizde de bunu nasıl yapabileceğimizi anlatacağım. Tabi her şeyi bir yazımızda anlatmadan bu seferlik sadece \(n\times n\) boyutunda noktalar verilirse kaç tane karemiz olur ondan başlayacağım. Sizi matematiğe boğmamak adına formülün bulunuşunu anlatmayacağım fakat bir sorunuz olursa lütfen irtibata geçmekten çekinmeyin:

Kare Sayısı=\( \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}\)

Hatta \(3×3\) için denersek formülümüzü; \( \frac{3^2(3-1)(3+1)}{12}=6\) cevabına ulaşıyoruz.

Bu formülü kullanarak kolaylıkla elle saymadan \(n\times n\) boyutundaki eşit aralıklı nokta kümesinde kaç tane kare olduğunu bulabilirsiniz. Peki \(10×12\) sorulsaydı çözebilecek miydiniz?